1. Descripción de un sistema de medida y control.

El Sistema de Medida y Control es aquel que realiza funciones de medición de magnitudes físicas, químicas, biológicas, … procesando estas informaciones para regular el funcionamiento del sistema físico que pretende controlar, según los datos obtenidos en el proceso de adquisición de datos y medición.

En primer lugar el sistema de control capta las magnitudes del sistema físico (presión, temperatura, caudal, …) mediante los Transductores (también denominados de una forma no muy exacta, Sensores). Los transductores generan una señal eléctrica que será amplificada y acondicionada para su correcta transmisión a la Unidad de Control. Para que la transmisión sea más inmune al ruido, normalmente se hace de forma digital, lo que requiere una conversión previa Analógica/Digital. Una vez recibidos, los datos serán tratados por la unidad de control (PC, autómata programable, microcontrolador,…), que generará unas actuaciones de acuerdo con los objetivos previstos para el sistema. Ya que estas señales son de baja potencia se amplifican y envían a los Actuadores. La transmisión hacia los actuadores también puede ser digital, lo que requeriría de una conversión Digital/Analógica.

2. Identificación del sistema de medida y sus bloques constitutivos.

Un sistema de medida es la combinación de dos o más elementos, subconjuntos y partes necesarias para realizar la asignación efectiva y empírica de un número a una propiedad o cualidad de un objeto o evento, de tal forma que la describa.

Es decir, el resultado de la medida debe ser independiente del observador (objetiva) y basada en la experimentación (empírica).

Toda medición exige tres funciones básicas: adquirir la información, mediante un elemento sensor o transductor, procesar dicha información y presentar los resultados, de forma que puedan ser percibidos por nuestros sentidos. Puede haber, además, transmisión, si cualquiera de estas funciones se realiza de forma remota.

2.1. Definición de cada bloque constitutivo del sistema de medida

Transductor. Es aquel dispositivo que transforma una magnitud física (mecánica, térmica, magnética, eléctrica, óptica, etc.) en otra magnitud, normalmente eléctrica. Es necesario diferenciar el elemento sensor del transductor, ya que este último es un dispositivo más complejo que puede incluir un amplificador, un conversor A/D, etc. El Sensor es el elemento primario que realiza la transducción, y por tanto, la parte principal de todo transductor.

La señal de salida de los transductores suele ser eléctrica, ya que esto supone una serie de ventajas:

1) Debido a la estructura electrónica de la materia, cualquier variación de un parámetro no eléctrico de un material vendrá acompañada de la variación de un parámetro eléctrico. Escogiendo un material adecuado a cada caso, es posible realizar transductores con salida eléctrica para medir cualquier magnitud física.

2) Dado que no es conveniente absorber energía del sistema a medir, es muy ventajoso la utilización de transductores de salida eléctrica, que puede ser amplificada posteriormente.

3) Las señales eléctricas pueden ser filtradas, moduladas, etc. gracias al gran número de circuitos integrados que facilitan estos recursos.

4) Existen multitud de recursos para registrar y presentar información de forma electrónica(LEDs, displays, bancos de memoria, PCs,...).

5) La transmisión de señales eléctricas es más versátil que la de otro tipo de señales, como las neumáticas o hidráulicas, que requieren equipos más costosos y difíciles de mantener. No obstante, se utilizarán estos sistemas en lugares donde el riesgo de incendio o explosión lo requieran.

Acondicionamiento de Señal. Los Acondicionadores de Señal o adaptadores, son los elementos del sistema de medida y control que reciben la señal de salida de los transductores y la preparan de forma que sea una señal apta para usos posteriores (principalmente su procesado en un PLC o PC Industrial). Los acondicionadores no sólo amplifican la señal, sino que también pueden filtrarla, adaptar impedancias, realizar una modulación o demodulación, etc.

Conversión Analógica Digital. La mayoría de sensores generan una señal de salida analógica. Si el controlador es un sistema digital, por ejemplo un PC, un autómata programable o un microcontrolador, habrá que digitalizar las señales para que éste pueda interpretarlas.

La conversión analógico-digital se realiza en dos etapas: primero se cuantifica la señal (representar la magnitud de la señal mediante un número finito de valores) y, posteriormente, se codifica (representar el valor mediante un código determinado: binario, Gray,...).

Transmisión de Datos. Una vez que las lecturas de los sensores han sido adaptadas al sistema de transmisión, se envían mediante éste al sistema de control para su procesamiento. La transmisión puede realizarse mediante líneas independientes o por buses. En función de la complejidad el sistema de control, la transmisión puede ser a corta distancia o incluso a nivel mundial a través de redes WAN (Wide Area Network) e Internet.

Procesado. Una vez que los datos han sido recogidos del sistema y enviados al sistema de control, éste los analiza y calcula las actuaciones necesarias para cumplir los objetivos que se hayan especificado. Dada la potencia de los sistemas actuales, se pueden controlar sistemas mediante métodos de control avanzados, realizar cálculos matemáticos altamente complejos, aplicar redundancia al sistema de control en casos críticos, etc.

Visualización y Registro. La visualización del estado del sistema y su registro es una tarea fundamental en todo sistema de instrumentación. La visualización de variables importantes del proceso permite a un operario cualificado valorar la calidad del control que está realizando el sistema, reajustarlo o tomar decisiones de otra índole. La presentación de alarmas de forma clara y llamativa permitirá a los operarios tomar medidas al respecto a la mayor brevedad posible. El registro permite analizar la evolución del sistema más detalladamente para modificar estrategias, hacer estudios de rendimiento, etc.

Transmisión de Órdenes. Una vez que las actuaciones han sido calculadas, éstas han de enviarse al sistema para que sean aplicadas por los actuadores. Al igual que en la transmisión de datos, las órdenes pueden enviarse a los actuadores mediante líneas independientes, por buses específicos, o por los mismos buses utilizados para la transmisión de datos.

Conversión Digital Analógica. Si el controlador está implementado con un sistema digital, puede ser necesario (dependiendo de la naturaleza del actuador) una conversión previa de la señal.

Acondicionamiento de la Salida. Normalmente esta etapa está compuesta por un amplificador de potencia que adapta la señal de salida del controlador al actuador.

Actuación. Los Actuadores o Accionadores son aquellos elementos que realizan una conversión de energía con objeto de actuar sobre el sistema a controlar para modificar, inicializar y corregir sus parámetros internos.

La actuación es la etapa final del proceso de control. Las órdenes son enviadas por el controlador y se aplican al sistema físico a través de los actuadores. Esta actuación modificará el estado del sistema, que volverá a ser medido por los transductores para realizar un nuevo bucle de control.

bloque constitutivo de los sistemas de medida

2.2. Conceptos generales sobre la medida: Margen de medida

La diferencia entre los valores máximo y mínimo de una magnitud constituye su CAMPO O MARGEN DE VARIACIÓN O MEDIDA.

3. El sensor:

Un sensor es un dispositivo capaz de transformar magnitudes físicas o químicas, llamadas variables de instrumentación, en magnitudes eléctricas.

3.1. Clasificación.

El número de sensores disponibles para las distintas magnitudes físicas es tan elevado que, para proceder racionalmente a su estudio, es preciso clasificarlos previamente según algún criterio.

Según el aporte de energía: Moduladores y generadores.

Moduladores: La energía de la señal de salida procede, en su mayor parte, de la fuente de alimentación. La magnitud de entrada solamente controla (o modula) el nivel de la señal de salida.

Generadores: La energía de salida del sensor es suministrada por el medio en el que se mide a través del propio sensor.

Según la señal de salida: Analógicos y digitales.

Analógicos: La señal de salida varía de forma continua. Normalmente la información está contenida en la amplitud de dicha señal.

Digitales: La señal de salida varía de forma discreta; toma un valor de entre un conjunto finito.

Según la magnitud a medir: De temperatura, de presión, de fuerza, de desplazamiento, de velocidad, de aceleración, de humedad, y de un sin fin de magnitudes susceptibles de ser medidas.

Según el modo de funcionamiento: de deflexión y de comparación.

De deflexión: La magnitud medida, produce algún efecto físico que ocasiona una reacción en el sensor asociada a una variable útil fácilmente medible.

De comparación: Se intenta anular el efecto de la magnitud a medir, aplicando una magnitud bien conocida que induce un efecto contrario hasta restablecer el equilibrio. Siempre hay un detector del desequilibrio y un medio para anularlo.

Según el parámetro variable: Resistencia, capacidad, inductancia, tensión, corriente, etc.

Desde el punto de vista de la ingeniería electrónica, esta es la clasificación más útil. Pues permite reducir el número de grupos a unos pocos y se presta bien al estudio de los circuitos de acondicionamiento asociados, que son similares para todos los sensores en los que el parámetro variable es el mismo.

3.2. Interferencias.

Se denomina interferencias o perturbaciones externas aquellas señales que afectan al sistema demedida como consecuencia del principio utilizado para medir las señales de interés.Perturbaciones internas son aquellas señales que afectan indirectamente a la salida debidos a suefecto sobre las características del sistema de medida.

3.3. Compensación de errores

Los efectos de las perturbaciones internas y externas pueden reducirse mediante una alteración del diseño o a base de añadir nuevos componentes al sistema. Un método para ello es el denominado diseño con insensibilidad intrínseca. Se trata de diseñar el sistema de forma que sea inherentemente sensible sólo a las entradas deseadas. Para reducir las perturbaciones internas se puede usar la realimentación negativa y Otra técnica para reducir las interferencias es el filtrado. Un filtro es todo dispositivo que separa señales de acuerdo con su frecuencia u otro criterio Otra técnica de compensación de perturbaciones es la utilización de entradas opuestas, que se aplica con frecuencia para compensar el efecto de las variaciones de temperatura

4. Características estáticas de los sistemas de medida.

· Exactitud: la capacidad de un instrumento de dar indicaciones que se aproximen al verdadero valor de la magnitud medida. El valor exacto se obtiene mediante métodos de medidas validados internacionalmente.

· Precisión: La medida que es capaz de apreciar un instrumento. Está relacionada con la sensibilidad. A mayor sensibilidad, menores variaciones es capaz de apreciar, medidas más pequeñas nos dará el instrumento.

· Sensibilidad: Es la variación de la magnitud a medir que es capaz de apreciar el instrumento. Mayor sensibilidad de un aparato indica que es capaz de medir variaciones más pequeñas de la magnitud medida.

· Linealidad: expresa el grado de coincidencia entre la curva de calibración y una línea recta determinada.

· Ganancia: Es la relación entre la salida y la entrada de un sistema.

· Histéresis: expresa el grado de coincidencia entre la curva de calibración y una línea recta determinada.

. Resolución: Es el cambio más pequeño que puede detectar el instrumento de medición

5. Características dinámicas.

La presencia de inercias, capacidades, y en general, de elementos que almacenen energía, hace que la respuesta de un sensor a señales de entrada variable sea distinta a la que presenta cuando las señales de entrada son constante, descrita mediante las características estáticas.

La descripción del comportamiento del sensor se hace en este caso mediante las denominadas características dinámicas: error dinámico y velocidad de respuesta (retardo). El error dinámico es la diferencia entre el valor indicado y el valor exacto de la variable medida, siendo nulo el error estático. Describe la diferencia en la respuesta del sensor a una magnitud de entrad según que esta sea constante o variable en el tiempo. La velocidad de respuesta indica la rapidez con que el sistema de medida responde a los cambios de la variable de entrada.

Para describir matemáticamente el comportamiento de un sensor, se supone que la salida y la entrada se relacionan según una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes y que, por lo tanto, se tiene un sistema lineal invariable en el tiempo. En estas condiciones, la relación entre la salida y la entrada del sensor puede expresarse de una manera simple, en forma de cociente, empleando la transformada de Laplace de ambas señales y la función de transferencia propia del sensor. Hay que recordar que esta última da una relación general entre la salida y la entrada, pero no entre sus valores instantáneos. Las características dinámicas de los sensores pueden estudiarse entonces para cada señal de entrada aplicada, agrupándolos de acuerdo con el orden de la función de transferencia que los describe. Normalmente no es necesario emplear modelos de orden superior a dos.

La función de transferencia de un sistema de orden cero es

donde k es la sensibilidad.
La función de transferencia de un sistema de primer orden es:


donde k se denomina ahora sensibilidad estática, τ es la constante de tiempo y wc (=1/τ) es la frecuencia angular de corte, que corresponde a una atenuación de amplitud de –3 dB respecto a la respuesta en continua.

La función de transferencia de un sistema de segundo orden es:

6. Características de entrada.

La descripción de los sensores mediante sus características estáticas y sus características dinámicas no es, en modo alguno completa. Para ilustrar esta afirmación considérense, por ejemplo, las situaciones siguientes. En el caso de un potenciómetro, para evitar que el cursor pierda el contacto con el elemento resistivo es necesario que ejerza una fuerza sobre este. Qué sucede entonces si se pretende medir el movimiento de un elemento que sea incapaz de vencer el rozamiento entre el cursor y la pista?

Si para medir la temperatura que alcanza un transistor se emplea un termómetro con una masa importante respecto a la del transistor, al ponerlo en contacto con este, no lo enfriará dando, en consecuencia, una temperatura inferior a la temperatura que tenía inicialmente el transistor? Resulta que ni las características estáticas ni las características dinámicas de los sensores, tal como se han expuesto, permiten describir el comportamiento real del sensor. Ello es debido a que la descripción de un sensor o sistema mediante esquemas de bloques, deja al margen el hecho de que todo proceso de medida es inevitable la extracción de una cierta cantidad de energía del sistema donde se mide. Cuando, debido a esta circunstancia, la variable medida queda alterada, se dice que hay un error por carga. Los esquemas de bloques solo son válidos cuando no hay interacción energética entre bloques. El concepto de impedancia de entrada permite valorar si se producirá o no un error de carga.

En el proceso de medida de una variable cualquiera x1 siempre interviene además de otra variable x2 tal que el producto x1 x2 tiene dimensiones de potencia. Así, al medir una fuerza siempre se tiene una velocidad, al medir un caudal hay una caída de presión, al medir una temperatura hay un flujo de calor, al medir una corriente eléctrica se produce una caída de tensión, etc.

Por otra parte, las variables a medir que no sean mecánicas se designan como variables esfuerzo si se miden entre dos puntos o dos regiones del espacio, y como variables flujo si se miden en un punto o región del espacio. En el caso de variables mecánicas se designan como variables esfuerzo las que se miden en un punto, mientras que las variables flujo se miden entre dos puntos. Son, por ejemplo, variables esfuerzo la tensión eléctrica, la presión, la temperatura, la fuerza y el par mecánico; mientras que son variables flujo la corriente eléctrica, el caudal, la velocidad lineal y la velocidad angular.

Para el caso de un elemento que se pueda describir mediante relaciones lineales, la impedancia de entrada, Z(s), se define como el cociente entre las transformadas de Laplace de una variable esfuerzo y una variable flujo asociada. La admitancia de entrada, Y(s), se define como el recíproco de Z(s). El valor en ambas varía normalmente con la frecuencia. A frecuencias muy bajas, se habla, respectivamente, de rigidez y compliancia, en vez de impedancia y admitancia.

7. Errores en los sistemas de medida y su análisis

La limitación de los elementos físicos disponibles para realizar un sistema de medida hace que las señales de salida discrepen de las que se obtendrían con un sistema ideal. Estas discrepancias se denominan errores y, dado que algunas de ellas son inevitables, el objetivo es reducirlas de modo que a partir de la salida se pueda determinar el valor de la entrada con una incertidumbre aceptable. El número de cifras con que se exprese un resultado debe concordar con la incertidumbre que tenga asociada. Los errores de un sistema se determinan a partir de su calibración, que consiste en aplicarle entradas conocidas y comparar su salida con la obtenida con un sistema de medida de referencia, más exacto.

8. Incertidumbre de las Medidas

Al realizar el proceso de medición, el valor obtenido y asignado a la medida diferirá probablemente del “valor verdadero” debido a causas diversas. Los errores de un sistema se determinan a partir de su calibración, que consiste en aplicarle entradas conocidas y comparar su salida con la obtenida con un sistema de medida de referencia más exacto. Por ello podemos decir que está relacionada con el proceso de medida. Se trata del máximo error de la medida. Evidentemente, está relacionada con la precisión del instrumento. Por regla general se toma como incertidumbre la precisión del aparato, algunas veces aunque no sea demasiado correcto se toma la mitad de la precisión como incertidumbre.

9. Error Sistemático

La limitación de los elementos físicos disponibles para realizar un sistema de medida hacen
que las señales de salida discrepen de las que se obtendrían con un sistema ideal. Estas

discrepancias se denominan errores y, dado que algunas de ellas son inevitables, el objetivo es

reducirlas de modo que a partir de la salida se pueda determinar el valor de la entrada con una
incertidumbre aceptable. El número de cifras con que se exprese un resultado debe concordar
con la incertidumbre que tenga asociada.
Los errores de un sistema se determinan a partir de su calibración, que consiste en aplicarle

entradas conocidas y comparar su salida con la obtenida con un sistema de medida de

referencia, más exacto.
Las medidas nunca permiten obtener el “verdadero valor” de la magnitud que se mide. Esto es
debido a multitud de razones. Las más evidentes son las imperfecciones, inevitables en un
cierto grado, de los aparatos y de nuestros sentidos. El “verdadero valor” de una magnitud no
es accesible en la realidad y por ello resulta más propio hablar de estimaciones, medidas o

aproximaciones del valor de una magnitud. Independientemente de estas consideraciones, en

el ámbito de la Instrumentación se sabe que no tiene sentido hablar del valor de una magnitud,
sino sólo de la probabilidad de obtener uno u otro valor en una determinada medida de esta
magnitud. Esto no es el resultado de las imperfecciones de los aparatos, sino de la propia
esencia de la naturaleza. Este carácter probabilístico de las magnitudes se hace patente a nivel
microscópico.
La consecuencia de las consideraciones anteriores, es que toda medida es incierta o está
dotada de un cierto grado de incertidumbre. Es esencial estimar ésta incertidumbre, primero

porque el conocimiento de la incertidumbre aumenta la información que proporciona la

medida, y segundo, porque este conocimiento permite manejar las medidas con la prudencia
que dicta el conocimiento de la confianza que nos merecen.
Cuando se exprese el resultado de una medida es pues necesario especificar tres elementos:

número, unidad e incertidumbre. La ausencia de alguna de ellas elimina o limita la

información que proporciona.

Según su naturaleza los errores pueden ser sistemáticos o aleatorios.

10. Error Aleatorio

Un error aleatorio tiene una magnitud que cambia de unas a otras ocasiones a pesar de que las

condiciones del sistema sean las mismas.

Los errores aleatorios se manifiestan cuando se mide repetidamente la misma magnitud con el

mismo instrumento y el mismo método, y presentan las siguientes propiedades:

1. Los errores aleatorios positivos y negativos de igual valor absoluto tienen la misma

probabilidad del producirse.
2. Los errores son tanto menos probables cuando mayor sea su valor.

3. Al aumentar el número de medidas, la media aritmética de los errores aleatorios de

una muestra tiende a cero.
4. Para un método de medida determinado, los errores aleatorios no exceden de cierto
valor. Las medidas que lo superan deben repetirse y, en su caso, estudiarse por
separado.

La calibración permite corregir los errores sistemáticos y estimar la magnitud de los errores

aleatorios (pero no corregirlos).

11. Errores Estáticos y Errores Dinámicos

Según que se manifiesten cuando las señales de entrada son lentas o rápidas, los errores se denominan estáticos o dinámicos.

Un error estático afecta a las señales lentas, por ejemplo de frecuencia inferior a 0,01 Hz. Un error dinámico afecta a las señales rápidas, y es una consecuencia de la presencia de elementos que almacenan energía. Dado que en la respuesta dinámica se consideran dos fases, la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria, se habla de error dinámico transitorio y error dinámico estacionario.

El error dinámico de un sistema depende de su orden y de la forma de la señal de entrada.

Las señales consideradas habitualmente son el escalón, la rampa y las senoidales. Los sistemas de orden cero no tienen error dinámico. Los sistemas de primer y de segundo orden tienen un error dinámico para las entradas en rampa y senoidales, incluso en régimen estacionario, y tienen un error dinámico para las entradas en escalón sólo durante la fase transitoria. En los sistemas de segundo orden la fase transitoria dura tanto más cuanto menor sea el amortiguamiento. El error dinámico para entradas senoidales incluye un retardo y un error de amplitud, pero normalmente al hablar de error dinámico se suele sobrentender el error de amplitud.

12. Forma de expresar los errores

La magnitud de un error se puede expresar como error absoluto, como error relativo o como error referido a fondo escala. El error absoluto es la diferencia entre el resultado y el verdadero valor (o valor ideal). El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor. El error absoluto se expresa a veces como porcentaje de una magnitud de referencia, por ejemplo el valor de fondo de escala. La elección de una u otra forma de expresión depende del tipo de error.

12.1. Error Absoluto

Por motivos obvios, y por su propia naturaleza, no es posible determinar exactamente un error. En el mejor de los casos, puede llegarse a una estimación de ese error. Cuando el resultado de una medida se expresa por:

Valor medido= x= δx (unidad)

Lo que se quiere decir es que la magnitud medida se encuentran en el intervalo(x-δx, x+δx) con una determinada probabilidad. Con una medida logramos acotar el intervalo de valores en los que se encuentra la magnitud que pretendemos medir, pero siempre con una determinada probabilidad. Es evidente que el error expresado por δx es una magnitud de la misma clase que la medida y se expresa por tanto con la misma unidad.

También es claro que en las medidas de calidad normal el error debe ser mucho menor que el valor nominal, x. Por definición δx es siempre positivo.

12.2. Error Relativo

El error definido arriba se llama error absoluto. Tiene también interés el error relativo, que se define como el cociente del error absoluto, dividido por |x|.

Error relativo= δx/ |x|

En medidas de una cierta calidad el error relativo debe ser mucho menor que la unidad. Frecuentemente se expresa multiplicado por 100, con lo que aparece en tanto por ciento del valor medido:

Error relativo (%)= - δx/ |x| *100

13. Cifras significativas

Las cifras significativas son aquellas que aportan información útil en un número. Las cifras no significativas son las que aparecen como resultados del cálculo. Se consideran cifras significativas aquellas que tienen igual o mayor peso que el error de un número. Por ejemplo, si tenemos la magnitud T = 296,346724 +/- 0,1 K las cifras a partir de la centésima de kelvin (incluida ésta) no aportan nada nuevo, pues son de mucha menor magnitud que el error y entran dentro de las fluctuaciones. También se considera que los ceros no son cifras significativas, excepto cuando estén entre dos cifras distintas de cero. Por ejemplo 110 tiene dos cifras significativas, 0,0001 tiene una cifra significativa, pero 102 tiene tres.

Esto se suele resolver empleando notación científica. En estos tres últimos casos, en notación científica escribimos 1,1*10², 1*10^-4 y 1,02*10². Como vemos el número de cifras significativas en notación científica es trivial.

Hay que hacer notar que la medida se tiene que dar hasta el peso del error. Supongamos que tenemos una medida d = 30cm con un error de un milímetro, en ese caso se debe escribir d = 30,0 +/- 0,1 cm.

14. Redondeo de Números

Cuando tenemos cifras no significativas hay que eliminarlas, pero no simplemente borrándolas, sino redondeando. Para ello existen las siguientes reglas de redondeo:

• Si la cifra que se omite es menor que 5, la eliminación se realiza sin más.

• Si la cifra que se omite es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra que se conserva.

• Si la cifra que se omite es 5 se elimina si la última cifra retenida es par y se suma uno a la última cifra retenida si es impar

Por supuesto, en el último punto también existe el convenio contrario. Estadísticamente son equivalentes.

15. Errores de cero, ganancia y de no linealidad

Un error de cero permanece constante con independencia del valor de la entrada. Un error de ganancia es proporcional al valor de la entrada. Un error de no linealidad hace que la característica de transferencia se aparte de una línea recta

16. Estimación del Error de una Medida Directa

No existe un conjunto de reglas bien fundadas e inalterables que permitan determinar el error de una medida en todos los casos imaginables. Muchas veces es tan importante consignar cómo se ha obtenido un error como su propio valor

Sin embargo, la aplicación de algunos métodos estadísticos permite objetivar en gran medida la estimación de errores aleatorios. La estadística permite obtener los parámetros de una población (en este caso el conjunto de todas las medidas que es posible tomar de una magnitud), a partir de una muestra (el número limitado de medidas que podemos tomar).

16.1. Mejor valor de un conjunto de Medidas

Supongamos que medimos una magnitud un número n de veces. Debido a la existencia de errores aleatorios, las n medidas x_1, x_2,…, x_n serán en general diferentes.El método más razonable para determinar el mejor valor de estas medidas es tomar el valor medio. En efecto, si los errores son debidos al azar, tan probable es que ocurran por defecto como por exceso, y al hacer la media se compensarán, por lo menos parcialmente. El valor medio se define por:

y este es el valor que deberá darse como resultado de las medidas.

16.2. Dispersión y Error. Desviación Estándar

La desviación estándar (DS/DE), también llamada como desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución. De hecho, específicamente, la desviación estándar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma.

La desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se desvían los datos de su media. Esta medida es más estable que el recorrido y toma en consideración el valor de cada dato.

Es posible calcular la desviación estándar de una variable aleatoria continua como la raíz cuadrada de la integral

Donde

• La DS es la raíz cuadrada de la varianza de la distribución

Así la varianza es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.

Aunque esta fórmula es correcta, en la práctica interesa realizar inferencias poblacionales, por lo que en el denominador en vez de n, se usa n-1 (Corrección de Bessel)

También hay otra función más sencilla de realizar y con menos riesgo de tener equivocaciones:

16.3. Significado de la Desviación Estándar. La Distribución Normal

El conjunto de las medidas de una magnitud, siempre que exista un error accidental, pueden caracterizarse por medio de una distribución estadística. Cuando el error es debido a un gran número de pequeñas causas independientes, la distribución se aproxima a la llamada distribución normal.

La forma de representar en estadística una distribución es representando en abscisas el conjunto de valores que pueden obtenerse en una medida y en ordenadas la probabilidad de obtenerlos. En el caso de que la magnitud medida varíe de forma continua, en ordenadas se representa la probabilidad por unidad de intervalo de la magnitud medida.

En una distribución continua, la probabilidad de que una medida esté entre dos valores x0 y x1 viene representada por:

Donde f(x) es la función de densidad de la distribución. La función de densidad representa probabilidad (por unidad de intervalo de la magnitud medida) de obtener un determinado valor en una medida. Obviamente:

La distribución normal aparece con frecuencia en las medidas de magnitudes, pero no siempre. La distribución de una serie de medidas se aproxima a una normal siempre y cuando la fuente de error sea la superposición de muchas pequeñas causas independientes. Si hay una o varias causas de error predominantes o si las causas de error no son independientes, se dice que las medidas presentan un sesgo, y la distribución puede muy bien ser otra. Es muy frecuente encontrar distribuciones de medidas no simétricas, con dos o más máximos, etc.

16.4. Medidas sin dispersión. Error de lectura o instrumental

En ocasiones la repetición de la medida de una magnitud conduce siempre al mismo valor.
Como ejemplo, consideremos la medida de la longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros. Si la medida se realiza con cierta atención, todas las medidas del objeto proporcionan el mismo valor. Es evidente que en este caso la teoría anterior no resulta aplicable, porque al ser nula la dispersión, la desviación estándar resulta igual a cero. En estos casos, la fuente de error no está en la superposición de muchas causas aleatorias, sino en la sensibilidad del aparato de medida.

En efecto, el hecho de que todas las medidas sean iguales no indica en general que no haya error accidental, sino que éste es demasiado pequeño para quedar reflejado en el aparato. En el ejemplo anterior, si el error accidental de las medidas es del orden de 0,001 mm es evidente que la regla no podrá apreciarlo, resultando todas las medidas iguales. En estos casos es necesario estimar el error debido a la sensibilidad finita del aparato de medida.

Es frecuente expresar el error instrumental o de lectura eins de forma que en el intervalo (me-ins, m+eins) haya un 68 % de probabilidad de encontrar el valor de magnitud medida.
En resumen, el error instrumental de una medida se expresa frecuentemente por:

eins= s/3 ; Donde: s es la sensibilidad del aparato de medida.

Hemos visto que cuando el error instrumental es mucho mayor que el accidental, éste queda enmascarado por aquel. El efecto inverso es también posible. Por tanto, en los casos en que el error accidental de una medida sea mucho mayor que el instrumental, sólo consideraremos el error accidental. En aquellos casos en que los errores sean del mismo orden de magnitud, puede considerarse que el error total es la suma de los dos:

e= eins + σ; Donde eins es el error instrumental y σ es el error accidental expresado por la desviación estándar.

16.5. Propagación de Errores

Las operaciones matemáticas con números inciertos dan lugar a resultados también inciertos, y es importante poder estimar el error de los resultados a partir de los errores de los números con los que se opera.

Figura: Representación gráfica de la superficie de un cuadrado en función de su lado. La relación entre el error del lado (ex) y el error de la superficie (ey) viene dado por la pendiente de la curva, es decir, por la derivada

Consideremos un ejemplo sencillo para ilustrar este tema. Supongamos que se mide el lado (x) de una parcela de terreno cuadrada, y a partir de esta medida quiere obtenerse su superficie (y). La medida del lado llevará aparejada un error, que puede ser de origen accidental, instrumental o combinación de ambos. Admitamos que el lado mide 8 m y que el error es de 1 m. El valor de la superficie es por tanto de 64 m2, y estamos interesados en estimar su error. En la figura se ha representado la superficie en función del lado. El error en la medida del lado puede interpretarse como el radio de un entorno alrededor del valor nominal, en cuyo interior estará el valor del lado con una determinada probabilidad. Si proyectamos este entorno sobre la curva obtendremos otro entorno en el eje de ordenadas que representa el error de la superficie. Inspeccionando la figura llegamos a la conclusión de que el error de la superficie es de algo más de 15 m2. En una medida de precisión normal, el error es lo suficientemente pequeño como para poder sustituir la curva por la recta tangente a la curva. La relación entre el error de y y el error de x será entonces la pendiente de la curva en el punto de interés. Es decir, la relación entre el error del lado y el error de la superficie es la derivada de la función:

En nuestro caso: . Como el valor del lado es 8, el error de la superficie (y) es 16 veces el error del lado, como ya habíamos estimado gráficamente. En un caso más general tendremos dos o más variables en lugar de sólo una. Por ejemplo, si la parcela anterior es rectangular en vez de cuadrada, la superficie es función de dos variables: la base (x) y la altura (y). La medida de cada una de estas dos variables tendrá un cierto error, que se propagará al valor de la superficie: S=x.y. La contribución del error de cada lado al error de la superficie vendrá dado por una ecuación similar a la 4. Parece lógico pues que el error total de la función S sea la suma de las contribuciones de cada una de las variables, es decir:

Es importante tener presente que esta expresión es válida sólo en los siguientes supuestos:

El error de cada variable es mucho menor que la propia variable.

Las variables son independientes en el sentido estadístico del término. Quiere esto decir que el valor de una de ellas no afecta en absoluto al valor de la otra. Por ejemplo, la estatura de una persona y su peso no son variables independientes. Si medimos el peso y la estatura de un gran número de personas llegaremos a la conclusión de que generalmente las personas más altas pesan también más.

La aplicación de la ecuación 5 permite calcular el error de una suma, producto, etc de dos variables. Si tenemos una función de n variables: es fácil generalizar la ecuación anterior:

16.6. Ajuste por mínimos cuadrados

Mínimos cuadrados es una técnica de Análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular).

Este método consiste en sumar el cuadrado de todas las distancias de los valores y_i al modelo ideal f(x) y encontrar la función que minimiza el error cuadrático definido por

Dependiendo del modelo f que uno quiera analizar da lugar a varios casos del método de mínimos cuadrados. Tenemos así los siguientes casos:

Caso I. f(x) = ax + b. Observemos que en este caso vamos a buscar funciones en el subespacio generado por las funciones {1, x}. La idea es encontrar la pareja (a; b) tales que minimice la función

Caso II. f(t) = Ce^kt. Ajuste de tipo exponencial.

Caso III. f(x) = ax^r. Ajuste de tipo polinomial.

Caso IV. f(x) = ax² + bx + c. Ajuste de tipo cuadrático. Observemos que en este caso vamos a buscar funciones en el subespacio generado por las funciones {1, x, x²}. Observe también que este caso tenemos que minimizar una función que depende de 3 variables. Claramente